Μαθηματικά Γ - 3ος

13 / 80

489
1.8Β - Θεωριματα ςυνζχειασ
Ύπαρξθ ρίηασ τθσ f(x)=0 ςτο διάςτθμα (α,β)⊆Αf
 Για να δείξουμε ότι μία ςυνάρτθςθ f ζχει μία τουλάχιςτον ρίηα ςτο
διάςτθμα  α,β δείχνουμε ότι ιςχφει το Θεώρθμα του Bolzano ςτο
διάςτθμα  α,β .
 Αν θ ςυνάρτθςθ είναι πολλαπλοφ τφπου εξετάηουμε τθν ςυνζχεια τθσ ςτο
κλειςτό διάςτθμα  α,β , βρίςκουμε τισ τιμζσ   f α και   f β και
εξετάηουμε αν     f α f β 0  οπότε από το Θεώρθμα Bolzano κα ζχουμε
μία τουλάχιςτον ρίηα ςτο διάςτθμα  α,β .
 Αν δεν γνωρίηουμε τον τφπο τθσ ςυνάρτθςθσ f αλλά μια ςυναρτθςιακι
ςχζςθ που τθν περιζχει και μασ ηθτείται θ φπαρξθ ρίηασ τθσ f ςτο
διάςτθμα  α,β , χρθςιμοποιοφμε το κεώρθμα Bolzano με τισ τιμζσ
    f α ,f β να προκφπτουν από τθν ςυναρτθςιακι ςχζςθ.
Για τη μοναδικότητα τησ λύςησ
 αρκεί να δείξουμε ότι θ f είναι γνθςίωσ μονότονθ.
 αρκεί να δείξουμε ότι θ f είναι 1-1.
1o Παράδειγμα
Δίνεται θ ςυνάρτθςθ   2
x 1
f x
x 1



.
α) Να εξετάςετε αν ικανοποιοφνται οι προχποκζςεισ του Θεωριματοσ
Bolzano για τθν f ςτο διάςτθμα
1
,2
2
 
 
 
β) Να εξετάςετε αν ικανοποιοφνται οι προχποκζςεισ του Θεωριματοσ
Bolzano για τθν f ςτο διάςτθμα  2,3 .
1η