Μαθηματικά Γ - 3ος

17 / 80

493
1.8Β - Θεωριματα ςυνζχειασ
Για x 1 ςτθν (1) ζχουμε
      4 f 1 5 f 1 4 και f 1 1     
              f 1 4 0 και f 1 1 0 f 1 1 f 1 4 0 g 1 0         
Οπότε     g 1 g 0 0 .
Ζτςι λοιπόν ικανοποιοφνται οι προχποκζςεισ του Θεωριματοσ Bolzano οπότε θ
ςυνάρτθςθ       2
g x f x 5f x 4x   ζχει μια τουλάχιςτον ρίηα ςτο  0,1 .
Λφςθ εξίςωςθσ ςε διάςτθμα (α,β)
 Όταν κζλουμε να δείξουμε ότι μία εξίςωςθ ζχει λφςθ ςτο διάςτθμα  α,β
μεταφζρουμε όλουσ τουσ όρουσ ςτο πρώτο μζλοσ το οποίο ορίηουμε
ςυνάρτθςθ f και εφαρμόηουμε το Θεώρθμα Bolzano ςτθν f ςτο διάςτθμα
 α,β .
 Όταν κζλουμε να δείξουμε ότι μία κλαςματικι εξίςωςθ ζχει λφςθ ςτο
διάςτθμα  α,β θ οποία όμωσ δεν ορίηεται ςτο διάςτθμα α,β κάνουμε
απαλοιφι παρονομαςτών, μεταφζρουμε όλουσ τουσ όρουσ ςτο πρώτο
μζλοσ, ορίηουμε ςυνάρτθςθ f και εφαρμόηουμε το Θεώρθμα Bolzano ςτο
διάςτθμα αυτό.
6o Παράδειγμα
Δίνονται οι ςυνεχείσ ςυναρτιςεισ f :  και g :  ώςτε:
 Θ ςφνκεςθ τθσ g με τθν f να είναι 1-1.
       2 2
f 0 f 1 4 4f 0   .
α) Να δείξετε ότι θ g είναι 1-1.
β) Να δείξετε ότι   f 1 0 και   f 0 2
γ) Να δείξετε ότι θ εξίςωςθ       2
g f x x g 1 x   ζχει 1 τουλάχιςτον ρίηα
ςτο  0,1 .
2η