Μαθηματικά Γ - 3ος

14 / 80

1ο Κεφάλαιο – Συναρτιςεισ
490
Απάντηςη
Πρζπει 2 2 x 1 0 x 1 x 1       άρα  
f D 1,1    .
α) Επειδι θ f δεν είναι ςυνεχισ ςτο
1
,2
2
 
 
 
για το λόγο ότι f δεν ορίηεται ςτο
0 x 1 , δεν ικανοποιοφνται οι προχποκζςεισ του Θεωριματοσ Bolzano.
β) Θ f είναι ςυνεχισ ςτο  2,3 ωσ ρθτι με
  1
f 2
3
 και   1
f 3
4
 άρα     1
f 2 f 3 0
12
 
Άρα δεν ικανοποιοφνται οι προχποκζςεισ του Θεωριματοσ Bolzano.
2o Παράδειγμα
Δίνεται θ ςυνάρτθςθ  
2
2
x 2x 4, x 1
f x
x 4x , x 1
   

 
   
.
α) Να εξετάςετε αν ικανοποιοφνται οι προχποκζςεισ του Θεωριματοσ
Bolzano για τθν f ςτο διάςτθμα  0,5
β) Να βρείτε εςωτερικά ςθμεία του  0,5 ςτα οποία θ γραφικι
παράςταςθ τθσ f τζμνει τον x΄x.
Απάντηςη
α) Θ f είναι ςυνεχισ ςτα διαςτιματα   ,1  ,   1, ωσ πολυωνυμικι.
Επιπλζον:
   2 f 1 1 4 3   
     2
x 1 x 1
lim f x lim x 4x 3
 
 
   
     2
x 1 x 1
lim f x lim x 2x 4 3
 
 
   
Αφοφ      
x 1 x 1
lim f x lim f x f 1
 
 
  θ f είναι ςυνεχισ και ςτο 0 x 1 . Ζτςι λοιπόν
ζχουμε:
 Θ f είναι ςυνεχισ ςτο  0,5
   f 0 4 0  και   f 5 5 0   άρα     f 0 f 5 20 0   .
Οπότε ικανοποιοφνται οι προχποκζςεισ του Θεωριματοσ Bolzano για τθν f ςτο
διάςτθμα  0,5 .