Μαθηματικά Γ - 3ος

15 / 80

491
1.8Β - Θεωριματα ςυνζχειασ
β) Για   x 0,1 ζχουμε   2 f x 0 x 2x 4 0     (1)
Δ 4 16 12 0     άρα θ (1) είναι αδφνατι ςτο άρα και ςτο   0,1 .
Για   x 1,5 ζχουμε     2 f x 0 x 4x 0 x x 4 0 x 0 ι x 4          ,με
τθ ρίηα x 0 να απορρίπτεται. Άρα θ γραφικι παράςταςθ τθσ f ςτο  0,5
τζμνει τον άξονα x΄x ςτο ςθμείο   Α 4,0 .
3o Παράδειγμα
Δίνεται θ ςυνάρτθςθ       x 1 f x x 1 2 ln x 1
    . Να δείξετε ότι θ εξίςωςθ
  f x 0 ζχει μια τουλάχιςτον ρίηα ςτο  0,1 .
Απάντηςη
Πρζπει x 1 0 x 1     άρα  
f D 1,   . Θ f είναι ςυνεχισ ςτο f D ωσ
πράξεισ των ςυνεχών ςυναρτιςεων  
1 f x x 1  , x  ,   x 1
2 f x 2 
 , x  και
   
3 f x ln x 1  , x  επομζνωσ είναι ςυνεχισ ςτο     0,1 1,   . Επίςθσ:
  1 1
f 0 2 0
2

     και   f 1 ln2 0  άρα     f 0 f 1 0
Ικανοποιοφνται λοιπόν οι προχποκζςεισ του Θεωριματοσ Bolzano, οπότε θ
εξίςωςθ   f x 0 ζχει μια τουλάχιςτον ρίηα ςτο  0,1 .
4o Παράδειγμα
Δίνεται θ ςυνάρτθςθ   x f x 3 2x 2    . Να δείξετε ότι θ εξίςωςθ   f x 0 ζχει
μια ακριβώσ ρίηα ςτο  0,1 .
Απάντηςη
 Ύπαρξη
Είναι f D  . Θ f είναι ςυνεχισ ςτο ωσ άκροιςμα των ςυνεχών
ςυναρτιςεων   x
1 f x 3  , x  και  
2 f x 2x 2   , x  επομζνωσ είναι
ςυνεχισ ςτο  0,1  . Επίςθσ:
  f 0 1 και   f 1 3  άρα     f 0 f 1 0
Ικανοποιοφνται λοιπόν οι προχποκζςεισ του Θεωριματοσ Bolzano, οπότε θ
εξίςωςθ   f x 0 ζχει μια τουλάχιςτον ρίηα ςτο  0,1 .