Μαθηματικά Γ - 3ος

16 / 80

1ο Κεφάλαιο – Συναρτιςεισ
492
 Μοναδικότητα
Για κάκε  
1 2 x , x 0,1 με
  x
1 2 1 2
3
x x x x
1 2 x x 3 3 3 3      
1
(1). Επίςθσ:
1 2 1 2 1 2 x x 2x 2x 2x 2 2x 2          (2)
Προςκζτοντασ κατά μζλθ τισ (1) και (2) ζχουμε:
   
1 2 x x
1 2 1 2 3 2x 2 3 2x 2 f x f x         
άρα θ f είναι γνθςίωσ φκίνουςα ςτο  0,1 οπότε θ f είναι και «1-1» ςτο
 0,1 . Ζτςι λοιπόν θ εξίςωςθ   f x 0 ζχει ακριβώσ μια ρίηα ςτο  0,1 .
5o Παράδειγμα
Δίνεται θ ςυνεχισ ςυνάρτθςθ   f : 0,1  για τθν οποία ιςχφει:
  4 f x 5  για κάκε  
x 0,1
Να δείξετε ότι θ ςυνάρτθςθ       2
g x f x 5f x 4x   ζχει μια τουλάχιςτον ρίηα
ςτο  0,1 .
Απάντηςη
Είναι  
g D 0,1 . Θ g είναι ςυνεχισ ςτο  0,1 ωσ πράξεισ ςυνεχών
ςυναρτιςεων. Επίςθσ:
           2 g 0 f 0 5f 0 f 0 f 0 5   
Όμωσ:
  4 f x 5  (1) για κάκε  
x 0,1
Για x 0 ςτθν (1) ζχουμε
      4 f 0 5 f 0 4 και f 0 5     
           f 0 0 και f 0 5 0 f 0 f 0 5 0 g 0 0       
Ακόμθ:
              2
g 1 f 1 5f 1 4 f 1 4 f 1 1     