Μαθηματικά Γ - 3ος

18 / 80

1ο Κεφάλαιο – Συναρτιςεισ
494
Απάντηςη
α) Για κάκε 1 2 f g x , x D  ζχουμε:
                 
f g1 1
1 2 1 2 1 2 1 2 g x g x f g x f g x f g x f g x x x

      
Άρα θ g είναι 1-1.
β) Ζχουμε:
            2 2 2 2
f 0 f 1 4 4f 0 f 0 4f 0 4 f 1 0        
          2 2
f 0 2 f 1 0 f 0 2 0 και f 1 0       
    f 0 2 και f 1 0  .
γ) Ζχουμε:
         
g1 1
2 2 2
g f x x g 1 x f x x 1 x f x x x 1 0

           
Θεωροφμε τθ ςυνάρτθςθ     2
h x f x x x 1    με h D  . Θ h είναι ςυνεχισ
ςτο  0,1 ωσ πράξεισ ςυνεχών ςυναρτιςεων. Επιπλζον:
    h 0 f 0 1 1 0    και     h 1 f 1 1 1 0     άρα     h 0 h 1 0
Ζτςι λοιπόν ικανοποιοφνται οι προχποκζςεισ του Θεωριματοσ Bolzano οπότε θ
εξίςωςθ   2 f x x x 1 0    ζχει μια τουλάχιςτον ρίηα ςτο  0,1 .
7o Παράδειγμα
Δίνεται θ ςυνεχισ και περιττι ςυνάρτθςθ f :  με  
x 0
limf ςυνx 2

 . Να
δείξετε ότι υπάρχει  
0 x 0,1 τζτοιο ώςτε  0 f x 1 .
Απάντηςη
Ζχουμε:
   
0 0 f x 1 f x 1 0   
Θεωροφμε τθ ςυνάρτθςθ     g x f x 1  με g D  . Θ g είναι ςυνεχισ ςτο  0,1
ωσ διαφορά ςυνεχών ςυναρτιςεων . Επίςθσ ιςχφει:
    g 0 f 0 1 
Αφοφ θ f είναι περιττι ςτο ιςχφει ότι     f x f x   (1) για κάκε x, x  .