Μαθηματικά Γ - 3ος

69 / 80

545
1.8Β - Θεωριματα ςυνζχειασ
61. Δίνεται θ ςυνάρτθςθ f :  για τθν οποία ιςχφει   f x 0 για κάκε
x  .
α) Αν θ f είναι ςυνεχισ ςτο και   f 2 9  να υπολογίςετε τα παρακάτω
όρια:
i)
 
    2 x 2
f x 9
lim
f x 9f x



ii)     3 2
x
lim f 5 4 x x 1

    
 
β) Αν       2014f 3 2015f 4 2016f 5 0   να δείξετε ότι θ f δεν είναι
ςυνεχισ.
Απ: α) i)
1
9
ii) 
β) Υποκζτουμε ότι θ f είναι ςυνεχισ και φτάνουμε ςε άτοπο
62. Δίνεται θ ςυνεχισ ςυνάρτθςθ   f : α,β  και  
1 2 ρ ,ρ α,β δφο
διαδοχικζσ ρίηεσ τθσ εξίςωςθσ   f x 0 . Να αποδείξετε ότι ςτο διάςτθμα
 
1 2 ρ ,ρ θ f διατθρεί ςτακερό πρόςθμο.
Απ: Σχόλιο 2 ςελ 192 ςχολικό
63. Δίνεται θ ςυνεχισ ςυνάρτθςθ f :  που ζχει διαδοχικζσ ρίηεσ το 4 και
το 7 και   f 6 8 . Να βρείτε το     3 2
x
lim f 5 1 x 3x 2

    
  .
Απ: 
64. Δίνονται οι ςυνεχείσ ςυναρτιςεισ f :  και g :  για τισ οποίεσ
ιςχφει ότι     
f x g x 1 1  για κάκε x  και   f 4 0 . Να δείξετε ότι
  f x 0 για κάκε x .
Απ: Δείχνουμε αρχικά ότι   f x 0 για κάκε x 
65. Δίνεται θ ςυνεχισ ςυνάρτθςθ f :  με μοναδικι ρίηα το 1 και
  f 0 1 ,   f 2 3  .
α) Να βρείτε το πεδίο οριςμοφ τθσ ςυνάρτθςθσ     g x lnf x .