Μαθηματικά Γ - 3ος

74 / 80

1ο Κεφάλαιο – Συναρτιςεισ
550
 
   
0
α β
f α f f β
2
f x
3

 
 
 
 .
Απ: Θ .Μ.Ε.Τ. ςτθν f ςτο  α,β
80. Δίνεται θ ςυνεχισ ςυνάρτθςθ   f : α,β  για τθν οποία     f α f β . Να
δείξετε ότι υπάρχει  
o x α,β τζτοιο ϊςτε      
0 6f x 5f α f β  .
Απ: Θ .M.E.T. ςτθν f ςτο  α,β
Σφνολο τιμών
81. Να βρείτε το ςφνολο τιμϊν των παρακάτω ςυναρτιςεων:
α)   f x 3 5x  για   x 1,2  β)   f x 1 x lnx   για   x 0,e
γ)   f x 5 x x 2    δ)   x f x e lnx
 
Απ: α)  
7,8 β)  
 e, γ)   
  7, 7 δ)
82. Δίνεται θ ςυνάρτθςθ   x
f x e lnx 2014   .
α) Να βρείτε το ςφνολο τιμϊν τθσ f.
β) Να δείξετε ότι θ εξίςωςθ x e lnx 2014 0   ζχει μοναδικι κετικι λφςθ.
γ) Να δείξετε ότι υπάρχει μοναδικό 0 x 0 τζτοιο ϊςτε   e π
0 f x π e .
Απ: α) β)    
  0 f 0, και  
 f 0, 1 γ)    
π
e
e
f 0,
π
  και  
 f 0, 1
83. Δίνεται θ ςυνεχισ και γνθςίωσ φκίνουςα ςυνάρτθςθ   f : ,0   για
τθν οποία ιςχφει  
x
lim f x 2015

 και  
x 0
lim f x 2014

 . Να δείξετε ότι
υπάρχει μοναδικό ξ αρνθτικό ϊςτε     ξ f ξ e ln ξ 6 0
     .
Απ: Θ .Bolzano ςτθν       x
g x f x e ln x 6
     ςτο  κ, λ , όπου κ κοντά ςτο 
, λ κοντά ςτο 0 και  

 
x
lim g x ,  


 
x 0
lim g x . Επιπλζον  
 g ,0 2
10η