Μαθηματικά Γ - 3ος

78 / 80

1ο Κεφάλαιο – Συναρτιςεισ
554
Απ: α) Θ .Ε.Τ. ςτθν f ςτο
β) Θ. Bolzano ςτθν   2005,2007         2 g x f x f 1 f 2  ςτο  1,2 και
     g 1 g 2 0
γ) Θ. Bolzano ςτθν          2
φ x f x f 3 f 4 ςτο  3,4 και      φ 3 φ 4 0
δ) Δείχνουμε ότι θ f δεν είναι  '1 1'
92. Δίνεται θ ςυνεχισ ςυνάρτθςθ f :  για τθν οποία ιςχφει
    2
f x 2xf x 1  για κάκε x  και   f 0 1 .
α) Να βρείτε τον τφπο τθσ f.
β) Να βρείτε τα όρια:  
x
lim f x

και
 
x 0
f x
lim
θμ x

.
γ) Να δείξετε ότι υπάρχει xο (0,1) τζτοιο ϊςτε  
0 x 1
0
0
e
f x
x

 .
Απ: α)      2
f x x x 1 , x β)  0 , γ) Θ. Bolzano ςτθν     x 1
g x xf x e 
 
ςτο  0,1
93. Δίνεται θ ςυνεχισ ςυνάρτθςθ f :  για τθν οποία ιςχφει
  2 xf x 3θμx x  για κάκε x .
α) Να βρείτε τον τφπο τθσ f.
β) Να υπολογίςετε το  
x
lim f x

.
γ) Να δείξετε ότι θ εξίςωςθ   x f x e 
 ζχει τουλάχιςτον μία κετικι ρίηα.
Απ: α)  
 
 
 


3 x
x- , x 0
f x x
-3 , x=0
β)  γ) Θ. Bolzano ςτθν     x
g x f x e
 
ςτο  0,κ , όπου κ κοντά ςτο 
94. Δίνονται οι κετικοί πραγματικοί αρικμοί α, β με α β και θ ςυνεχισ
ςυνάρτθςθ f :  για τθν οποία ιςχφουν
   f α 2β ,   f β 2α
   f x 2012 για κάκε x  .