Μαθηματικά Γ - 3ος

79 / 80

555
1.8Β - Θεωριματα ςυνζχειασ
α) Να αποδείξετε ότι θ εξίςωςθ     2x f β x f α   ζχει μια τουλάχιςτον
λφςθ ςτο   0,α β .
β) Αν θ f είναι γνθςίωσ μονότονθ ςτο  α,β τότε
i) Να αποδείξετε ότι υπάρχει μοναδικό   ξ α,β τζτοιο ϊςτε
  f ξ α β  .
ii) Να αποδείξετε ότι θ γραφικι παράςταςθ τθσ f τζμνει τθν   y x
ςε ζνα ακριβϊσ ςθμείο με τετμθμζνθ  
0 x α,β .
γ) Να υπολογίςετε το όριο
 
2
x
xf x θμ4x
lim
x 1
 
.
δ) Ζςτω ότι υπάρχει ςυνάρτθςθ h:  ϊςτε     f x h x 2004x  για
κάκε x  και θ εξίςωςθ   f x 0 ζχει δφο ετερόςθμεσ ρίηεσ 1 2 ρ , ρ . Να
αποδείξετε ότι θ εξίςωςθ   h x 0 ζχει τουλάχιςτον μια λφςθ ςτο  
1 2 ρ ,ρ .
Απ: α) Θ . Bolzano ςτθν       g x 2x f β θμχ f α   ςτο   0,α β και
   
    g g 0 β) i) Θ. Bolzano ςτθν     φ x f x α β   ςτο  α,β και
μονοτονία ii) Θ. Bolzano ςτθν       x f x x β w ςτο  α,ξ και μονοτονία
γ) 0 δ) Θ. Bolzano ςτθν      x f x 2004x h ςτο  
1 2 ρ ,ρ
95. Δίνεται θ ςυνεχισ ςυνάρτθςθ   f : 0,8  θ οποία ικανοποιεί τθ ςχζςθ
    3
f x f x x 2   για κάκε  
x 0,8 .
α) Να αποδείξετε ότι θ ςυνάρτθςθ f είναι γνθςίωσ αφξουςα και να βρείτε
το ςφνολο τιμϊν τθσ.
β) Να αποδείξετε ότι 23 3
f
8 2
 
  
 
.
γ) Να αποδείξετε ότι θ ςυνάρτθςθ f είναι αντιςτρζψιμθ και να ορίςετε τθ
ςυνάρτθςθ 1
f .
δ) Να αποδείξετε ότι οι γραφικζσ παραςτάςεισ των f C και 1
f C  ζχουν
ακριβϊσ ζνα κοινό ςθμείο του οποίου να βρείτε τισ ςυντεταγμζνεσ.
Απ: α)  1,2 β) Θζτουμε όπου 23
x
8

γ)     1 3
f x x x 2, x 1,2     δ)  
3 3
Ρ 2, 2