Μαθηματικά Γ - 3ος

77 / 80

553
1.8Β - Θεωριματα ςυνζχειασ
Θεωρθτικζσ – Προβλιματα
89. Δίνεται θ ςυνεχισ και «1-1» ςυνάρτθςθ ςε ζνα διάςτθμα Δ. Να δείξετε ότι
θ f είναι γνθςίωσ μονότονθ ςτο Δ.
Απ: Υποκζτουμε ότι για οποιαδιποτε 1 2 3 x ,x ,x Δ με 1 2 3 x x x  ιςχφει π.χ
     1 3 2 f x f x f x  και εφαρμόηοντασ Θ.Ε.Τ. για τθν f ςτο  
1 2 x ,x φτάνουμε
ςε άτοπο
90. Ζνα λεωφορείο ξεκινά από τθν Άρτα ςτισ 8:00 το πρωί και φτάνει ςτθ
Θεςςαλονίκθ ςτθν 11:30 τθν ίδια μζρα. Τθν επόμενθ μζρα ξεκινά ςτισ
8:00 το πρωί από τθ Θεςςαλονίκθ και κινοφμενο με διαφορετικι
ταχφτθτα φτάνει ςτθν Άρτα ςτισ 11:30. Να αποδείξετε ότι υπάρχει ςθμείο
τθσ διαδρομισ Άρτα – Θεςςαλονίκθ που το λεωφορείο φτάνει τθν ίδια
χρονικι ςτιγμι και όταν πθγαίνει ςτθν Θεςςαλονίκθ και όταν επιςτρζφει
ςτθν Άρτα.
Απ: Θ . Bolzano ςτθν        φ t f t g t ςτο   8, 11,5 , όπου f και g οι
ςυναρτιςεισ που εκφράηουν τισ αποςτάςεισ του λεωφορείου από τθν Άρτα, τθν
πρϊτθ και τθ δεφτερθ μζρα αντίςτοιχα.
Συνδυαςτικζσ
91. Δίνεται θ ςυνεχισ ςυνάρτθςθ f :  για τθν οποία ιςχφουν
   f x 0 για κάκε x
  
1
f 2005
2
 ,   f 2007 3 και         f 1 f 2 f 3 f 4 .
α) Να αποδείξετε ότι υπάρχει ξ ϊςτε   f ξ 1 .
β) Να αποδείξετε ότι υπάρχει  
1 x 1,2 ϊςτε       2
1 f x f 1 f 2 .
γ) Να αποδείξετε ότι υπάρχει  
2 x 3,4 ϊςτε       2
2 f x f 3 f 4 .
δ) Να αποδείξετε ότι θ f δεν αντιςτρζφεται.
12η
11η