Μαθηματικά Γ - 3ος

70 / 80

1ο Κεφάλαιο – Συναρτιςεισ
546
β) Να δείξετε ότι θ εξίςωςθ   lnf x x 1  ζχει μια τουλάχιςτον ρίηα ςτο
(0,1).
Απ: α)  
f D , 1  β) Θ. Bolzano ςτθν        g x lnf x x 1 ςτο  0,κ , όπου κ
κοντά ςτο 1 και  
x 1
lim g x


 
66. Να βρείτε το πρόςθμο των παρακάτω ςυναρτιςεων ςτο διάςτθμα που
αναφζρεται:
α)   f x 2ςυνx 1  ςτο (0,π)
β)   f x 2θμx 1  ςτο
π 3π
,
2 2
 
 
 
γ)   f x ςφx 1  ςτο    π,2
Απ: α)  
π
f x 0 , x 0,
3
 
 
 
 
και  
π
f x 0 , x , π
3
 
 
 
 
β)    
 
 
 
7π
f x 0 , x ,
6
π
2
και    
 
 
 
7π
f x 0 , x ,
6
3π
2
γ)    
 
 
 
7π
f x 0 , x π,
4
και    
 
 
 
7π
f x 0 , x ,2π
4
67. Δίνονται οι ςυνεχείσ ςυναρτιςεισ   f : α,β  και   g : α,β  ϊςτε να
ιςχφει   g x 0 για κάκε  
x α,β . Να δείξετε ότι υπάρχει τουλάχιςτον
ζνα   ξ α,β τζτοιο ϊςτε
 
 
f ξ 1 1
g ξ ξ α ξ β
 
 
.
Απ: Θ. Bolzano ςτθν               
       φ x x α x β f x x β g x x α g x ςτο  α,β
Εφρεςθ τφπου
68. Δίνεται θ ςυνεχισ ςυνάρτθςθ  
f : 3,3  για τθν οποία ιςχφει
  2 2
9 f x x  για κάκε   x 3,3  .
8η