Μαθηματικά Γ - 3ος

75 / 80

551
1.8Β - Θεωριματα ςυνζχειασ
84. Δίνεται θ ςυνεχισ ςυνάρτθςθ   f : 0,7  για τθν οποία ιςχφουν:
 Η f είναι γνθςίωσ μονότονθ ςε κάκε ζνα από τα διαςτιματα
 
1 Δ 0,5 και  
2 Δ 5,7
 Η γραφικι τθσ παράςταςθ διζρχεται από τα ςθμεία Α(1,1),
3 3
B ,
2 2
 
 
 
, 11
Γ ,1
2
 
 
 
, 13
Γ ,0
2
 
 
 
  
x 0
lim f x 2

  ,  
x 7
lim f x 6

  ,   f 5 2
α) Να μελετιςετε τθν f ωσ προσ τθ μονοτονία τθσ .
β) Να βρείτε το ςφνολο τιμϊν τθσ f.
γ) Να βρείτε το πλικοσ των ριηϊν τθσ εξίςωςθσ   f x 0 .
δ) Να δείξετε ότι θ γραφικι παράςταςθ τθσ f τζμνει τθν ευκεία y x 2 
ςε ζνα τουλάχιςτον ςθμείο με τετμθμζνθ  
0 x 1,5 .
ε) Να δείξετε ότι υπάρχει τουλάχιςτον ζνα    ξ 0,5 τζτοιο ϊςτε
 
      3f 2 f 3 2f 4
f ξ
6
 
 .
Απ: α) 1 f Δ1 , 2 f Δ 2 β)      
  f 0,7 6,2 γ) Δφο δ) Θ. Bolzano ςτθν
    g x f x x 2   ςτο  1,5
ε) Δείχνουμε ότι ο αρικμόσ
     
 
 
 1
3f 2 f 3 2f 4
f
6
85. Δίνεται θ ςυνάρτθςθ  
 
x
x
x e , x 0
f x
e ln x 1 , x 0
  

 
  

α) Να δείξετε ότι θ f είναι ςυνεχισ ςυνάρτθςθ.
β) Να βρείτε το ςφνολο τιμϊν τθσ f.
γ) Να δείξετε ότι θ f ζχει ακριβϊσ δφο ρίηεσ ετερόςθμεσ.
δ) Να δείξετε ότι θ εξίςωςθε
    f α 1 f β 1
0
x 1 x 2
 
 
 
ζχει τουλάχιςτον μία
ρίηα ςτο διάςτθμα (1,2) για κάκε *
α,β  .
ε) Να βρείτε το πλικοσ των ριηϊν τθσ εξίςωςθσ   f x k για τισ διάφορεσ
τιμζσ του k .