Μαθηματικά Γ - 4ος

11 / 80

487
1.8Β - Θεωριματα ςυνζχειασ
1 x οςοδιποτε μικρό τζτοιο ϊςτε  1 g x 0 . Επειδι  
x β
lim g x

 
υπάρχει 2 x οςοδιποτε μεγάλο τζτοιο ϊςτε  2 g x 0 . Για τθ ςυνάρτθςθ
g ικανοποιοφνται οι προχποκζςεισ του κεωριματοσ Bolzano ςτο
   
1 2 x ,x α,β με ςυνζπεια να υπάρχει  
0 1 2 x x ,x τζτοιο ϊςτε
   
0 0 g x 0 f x κ   . Άρα    
κ f α,β οπότε    
f α,β  .
 Το ςυμπζραςμα του Θ.Μ.Ε.Τ μπορεί να ιςχφει όταν μια ςυνάρτθςθ f δεν
είναι ςυνεχισ ςε ζνα κλειςτό διάςτθμα ι είναι ςυνεχισ ςε ζνα ανοικτό
διάςτθμα.
 Ζςτω   f : α,β  μια ςυνεχισ ςυνάρτθςθ με       f α,β γ,δ ,
  α,β,γ,δ ,     .
 Αν f ςυνεχισ και γνθςίωσ αφξουςα κα είναι 1-1 άρα και
αντιςτρζψιμθ με 1 f ςυνεχι και γνθςίωσ αφξουςα όπου
  1
x γ
lim f x α


 και   1
x δ
lim f x β



 δθλαδι       1 f γ,δ α,β   .
 Αν f ςυνεχισ και γνθςίωσ φκίνουςα κα είναι 1-1 άρα και
αντιςτρζψιμθ με 1
f ςυνεχι και γνθςίωσ φκίνουςα όπου
  1
x γ
lim f x β



 και   1
x δ
lim f x α



 δθλαδι       1
f γ,δ β,α   .
 Η εικόνα ενόσ κλειςτοφ διαςτιματοσ Δ μιασ ςυνάρτθςθσ f μπορεί να
είναι κλειςτό διάςτθμα χωρίσ θ f να είναι ςυνεχισ.
 Αν το Δ δεν είναι κλειςτό διάςτθμα και f μια ςυνεχισ ςυνάρτθςθ τότε το
  f Δ δεν ζχει υποχρεωτικά τα ίδια άκρα με το Δ.
 Για μια ςυνεχι ςυνάρτθςθ f ςε ζνα διάςτθμα Δ ιςχφει:
Δ  α,β  α,β   α,β   α,β
  f 1 Δ
Δ
      f Δ f α ,f β  
      f Δ A,B     
f Δ f α ,B      
f Δ A,f β 
 
f 2 Δ
Δ
      f Δ f β ,f α  
      f Δ B,A     
f Δ B,f α      
f Δ f β ,Α 