Μαθηματικά Γ - 4ος

8 / 80

1ο Κεφάλαιο – Συναρτιςεισ
484
 Αν θ ςυνάρτθςθ f είναι ςυνεχισ και 1-1 ςε ζνα διάςτθμα Δ, τότε είναι και
γνθςίωσ μονότονθ ςτο Δ.
Απόδειξη
Ζςτω α,β Δ με α β . Αφοφ θ f είναι 1-1 ιςχφει ότι     f α f β . Χωρίσ
βλάβθ τθσ γενικότθτασ υποκζτουμε πωσ α β με     f α f β . Θα
δείξουμε πωσ για κάκε   κ α,β ιςχφει       f α f κ f β  .Ζςτω
    f α f κ . Επειδι θ f είναι ςυνεχισ ςτο  κ,β κα παίρνει όλεσ τισ τιμζσ
μεταξφ του   f κ και του   f β .Άρα αφοφ       f κ f α f β  υπάρχει
 
1 ξ κ,β τζτοιο ϊςτε    1 f ξ f α που είναι άτοπο γιατί f 1-1
ςυνάρτθςθ. Ζςτω τϊρα πωσ     f κ f β .Επειδι θ f είναι ςυνεχισ ςτο
 α,κ κα παίρνει όλεσ τισ τιμζσ μεταξφ του   f α και του   f κ .Άρα αφοφ
      f α f β f κ  υπάρχει  
2 ξ α,κ τζτοιο ϊςτε    2 f ξ f β που είναι
άτοπο γιατί f 1-1 ςυνάρτθςθ. Επιπλζον επειδι       f α f κ f β 
προκφπτει ότι       f α f κ f β  για κάκε   κ α,β με ςυνζπεια θ f να
είναι γνθςίωσ αφξουςα ςτο  α,β Δ .Ομοίωσ αποδεικνφουμε ότι θ f
είναι γνθςίωσ φκίνουςα ςτο Δ.
 Το ςυμπζραςμα του Θ.Ε.Τ. μπορεί να ιςχφει και για μια μθ ςυνεχι
ςυνάρτθςθ.
 Αν θ τιμι 0 είναι ενδιάμεςθ των   f α και   f β και θ f είναι ςυνεχισ ςτο
 α,β τότε το κεϊρθμα Bolzano αποτελεί ειδικι περίπτωςθ του Θ.Ε.Τ.
Θεώρημα
Αν f είναι ςυνεχισ ςυνάρτθςθ ςτο  α,β , τότε θ f παίρνει ςτο  α,β μια
μζγιςτθ τιμι Μ και μια ελάχιςτθ τιμι m.
Θεώρημα μζγιςτησ και ελάχιςτησ τιμήσ (Θ.Μ.Ε.Τ)