Μαθηματικά Γ - 4ος

5 / 80

481
1.8Β - Θεωριματα ςυνζχειασ
 Αν θ f είναι ςυνεχισ ςτο  α,β και ιςχφει     f α f β 0  , τότε θ εξίςωςθ
  f x 0 ζχει μια τουλάχιςτον ρίηα ςτο  α,β .
 Αν     f α f β 0  τότε   f α 0 ι   f β 0 ,δθλαδι α ι β ρίηεσ τθσ
εξίςωςθσ.
 Αν     f α f β 0  τότε από το κεϊρθμα Bolzano υπάρχει τουλάχιςτον
μια ρίηα ςτο  α,β .
Σε κάκε περίπτωςθ υπάρχει τουλάχιςτον μια ρίηα τθσ εξίςωςθσ
  f x 0 ςτο  α,β .
 Αν δεν ιςχφουν οι υποκζςεισ του κεωριματοσ Bolzano δεν προκφπτει το
ςυμπζραςμα ότι θ f δεν ζχει ρίηα ςτο  α,β .
 Το κεϊρθμα Bolzano είναι υπαρξιακό κεϊρθμα κακϊσ εξαςφαλίηει
φπαρξθ ρίηασ χωρίσ να προςδιορίηει τθν τιμι τθσ.
 Αν θ f είναι γνθςίωσ μονότονθ ςτο  α,β και ιςχφει το κεϊρθμα Bolzano
ςτο  α,β ,τότε θ εξίςωςθ   f x 0 ζχει μοναδικι ρίηα ςτο  α,β .
 Κάκε πολυϊνυμο περιττοφ βακμοφ ζχει μια τουλάχιςτον πραγματικι ρίηα.
Απόδειξη
Ζςτω πολυϊνυμο   ν ν 1
ν ν 1 1 0 Ρ x α x α x ... α x α
      με ν α 0 και ν περιττόσ.
 Αν ν α 0 τότε     ν ν
ν ν
x x x
lim Ρ x lim α x α lim x
  
     γιατί
ν
x
lim x

  και     ν ν
ν ν
x x x
lim Ρ x lim α x α lim x
  
     γιατί
ν
x
lim x

  .
Επομζνωσ υπάρχουν α,β με α 0 β  τζτοια ϊςτε     P α 0 P β  .Επειδι θ
πολυωνυμικι ςυνάρτθςθ   P x είναι ςυνεχισ ςτο διάςτθμα  α,β με
    P α P β 0  από το κεϊρθμα Bolzano κα υπάρχει μια τουλάχιςτον ρίηα τθσ
εξίςωςθσ   P x 0 ςτο διάςτθμα  α,β . Άρα το πολυϊνυμο ζχει μια
τουλάχιςτον πραγματικι ρίηα.
 Αν ν α 0 θ απόδειξθ είναι ανάλογθ.