Μαθηματικά Γ - 4ος

10 / 80

1ο Κεφάλαιο – Συναρτιςεισ
486
Πρόταςη
Aν, μια ςυνάρτθςθ f είναι γνηςίωσ αφξουςα και ςυνεχήσ ςε ζνα κλειςτό
διάςτθμα  α,β , τότε το ςφνολο τιμϊν τθσ ςτο διάςτθμα αυτό είναι το
διάςτθμα  Α,Β , όπου   Α f α και   B f β .
Αν, θ f είναι γνηςίωσ φθίνουςα και ςυνεχήσ ςτο  α,β , τότε το ςφνολο τιμϊν
τθσ ςτο διάςτθμα αυτό είναι
το διάςτθμα  B,A .
Ανάλογα ςυμπεράςματα ζχουμε όταν μια ςυνάρτθςθ f είναι ςυνεχισ και
γνθςίωσ μονότονθ ςε διαςτιματα τθσ μορφισ   α β, και   α β, .
Παρατηρήςεισ
 Αν για μια ςυνεχι ςυνάρτθςθ   f : α,β  ,   α,β ,     ιςχφει:
  
x α
lim f x


  και  
x β
lim f x


  ι
  
x α
lim f x


  και  
x β
lim f x


 
τότε     f α,β 
Απόδειξη
Υποκζτουμε πωσ f ςυνεχισ ςτο  α,β με  
x α
lim f x


  και
 
x β
lim f x

  . Θα δείξουμε πωσ για κάκε κ ιςχφει    
κ f α,β .
Ζςτω     g x f x κ  ,   x α,β ςυνεχισ. Επειδι  
x α
lim g x


  υπάρχει
y
[ ]
O β
B
A
α x
y
[ ]
O β
Α
Β
α x