Μαθηματικά Γ - 4ος

9 / 80

485
1.8Β - Θεωριματα ςυνζχειασ
Δθλαδι, υπάρχουν  
1 2 x ,x α,β τζτοια, ϊςτε,
αν  1 m f x και  2 M f x , να ιςχφει
  m f x M  , για κάθε  α β x , .
 Από το παραπάνω κεϊρθμα και το κεϊρθμα ενδιάμεςων τιμϊν
προκφπτει ότι το ςφνολο τιμών μιασ ςυνεχοφσ ςυνάρτθςθσ f με
πεδίο οριςμοφ το  α,β είναι το κλειςτό διάςτθμα [m,M], όπου m
θ ελάχιςτθ τιμι και Μ θ μζγιςτθ τιμι τθσ.
 Ζςτω f μια ςυνεχισ ςυνάρτθςθ ςτο  
Δ α,β και m θ ελάχιςτθ
τιμι και Μ θ μζγιςτθ τιμι τθσ αντίςτοιχα.
 Αν m M τότε θ f είναι ςτακερι ςτο Δ.
 Αν m θ M  , τότε   θ f Δ ,οπότε υπάρχει  
0 x α,β τζτοιο
ϊςτε  0 f x θ .
 Αν m θ M  και θ f είναι γνθςίωσ μονότονθ ςτο Δ, τότε θ
εξίςωςθ   f x θ ζχει μια ακριβϊσ ρίηα ςτο Δ.
Πρόταςη
Aν μια ςυνάρτθςθ f είναι γνηςίωσ αφξουςα και ςυνεχήσ ςε ζνα ανοικτό
διάςτθμα  α,β , τότε το ςφνολο τιμϊν τθσ ςτο διάςτθμα αυτό είναι το
διάςτθμα  Α,Β , όπου  
x α
Α lim f x


 και  
x β
B lim f x

 .
Αν, όμωσ, θ f είναι γνηςίωσ φθίνουςα και ςυνεχήσ ςτο  α,β , τότε το
ςφνολο τιμϊν τθσ ςτο
διάςτθμα αυτό είναι το
διάςτθμα  B,A .
Σχόλια
y
[ ]
O β α x x1 x2
Μ
m
y
( )
O β
B
A
α x
y
( )
O β
Α
Β
α x