Μαθηματικά Γ - 4ος

3 / 80

479
1.8Β - Θεωριματα ςυνζχειασ
Θεώρημα
Ζςτω μια ςυνάρτθςθ f , οριςμζνθ ςε ζνα κλειςτό διάςτθμα [α,β] . Αν:
 θ f είναι ςυνεχισ ςτο  α,β και, επιπλζον, ιςχφει
     f α f β 0  ,
τότε υπάρχει ζνα, τουλάχιςτον,  
0 x α,β τζτοιο, ϊςτε  0 f x 0 .
Δθλαδι, υπάρχει μια, τουλάχιςτον, ρίηα τθσ εξίςωςθσ   f x 0 ςτο ανοικτό
διάςτθμα  α,β .
Γεωμετρική Ερμηνεία
Δίνεται θ γραφικι παράςταςθ μιασ
ςυνεχοφσ ςυνάρτθςθσ f ςτο  α,β . Επειδι
τα ςθμεία    
A α,f α και    
B β,f β
βρίςκονται εκατζρωκεν του άξονα x x , θ
γραφικι παράςταςθ τθσ f τζμνει τον άξονα
ςε ζνα τουλάχιςτον ςθμείο.
Από το κεϊρθμα Bolzano προκφπτει ότι:
 Αν μια ςυνάρτθςθ f είναι ςυνεχισ ςε ζνα διάςτθμα Δ και δε
μθδενίηεται ς’ αυτό, τότε αυτι ι είναι κετικι για κάκε x Δ ι
είναι αρνθτικι για κάκε x Δ , δθλαδι διατθρεί πρόςθμο ςτο
διάςτθμα Δ.
Θεώρημα Bolzano (1781- 1848)
Σχόλια
3 x
2 x
1 x
y
B(β,f (β))
Α(α,f (α)) f (α)
f (β)
O β
α
x
y
f (x)>0
O β α x
y
f(x)<0
O
β
α
x