Μαθηματικά Β προσ

35 / 36

Συντεταγμένες Διανύσματος
80
57) Σε καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων Οxy δίνεται το σημείο
 
A x y,3y και το διάνυσμα  
OB 2x y,x y  

με x, y  ℝ. Να βρείτε τα
x, y ώστε το OA

να σχηματίζει με τον άξονα x΄x γωνία 315ο και AB 4

.
58) Να βρείτε τις συντεταγμένες του διανύσματος v

αν είναι γνωστό ότι σχη-
ματίζει μη κυρτή γωνία με τον ημιάξονα Οx, έχει v 10

και είναι παράλληλο
προς το διάνυσμα  
u 3, 4 

Γεωμετρικά Θέματα
59) Να δείξετε ότι τα ευθύγραμμα τμήματα που ενώνουν τα μέσα των απέ-
ναντι πλευρών κυρτού τετραπλεύρου και τα μέσα των διαγωνίων του, δι-
χοτομούνται.
60) Να δείξετε ότι οι διαγώνιοι ενός παραλληλογράμμου διχοτομούνται.
61) Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και Δ, Ε, Ζ σημεία τέτοια ώστε να ισχύουν
2 A
Δ AB
3

 
, ΒΕ 5ΒΓ
 
, 5 A
Ζ AΓ
7

 
. Να δείξετε ότι τα σημεία Δ, Ε, Ζ είναι
συνευθειακά
62) Με βάση την πλευρά ΑΒ τετραγώνου ΑΒΓΔ κατασκευάζουμε στο εσωτε-
ρικό του ένα ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΕ. Στη συνέχεια με βάση την πλευρά
του ΒΓ κατασκευάζουμε εξωτερικά το ισόπλευρο τρίγωνο ΒΓΖ. Να δείξετε ότι
τα σημείαΔ, Ε, Ζ είναι συνευθειακά.